Magíster en Ciencia en la especialidad de Matemática

Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación

Teoría de la Medida

NOMBRE DEL CURSO:  TEORÍA DE LA MEDIDA

NÚMERO DE CRÉDITOS:  6

Resumen:

Estructuras importantes y nociones básicas de medida: Definición de medida, ejemplos. Semi-álgebra, álgebra, sigma-álgebra y propiedades. Continuidad de la medida y propiedades. Medida exterior, extensión de una medida. Teorema de Caratheodory.  Teorema de Hahn. Espacios de medida completos, completación de un espacio de medida.

 Algunos ejemplos de medidas: Medidas de Lebesgue-Stieltjes. Medida de Lebesgue.  Medidas regulares. Medidas con signo.  

 Integración: Funciones simples. Funciones medibles. Definición de integral, funciones integrables, propiedades. Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou. Teorema de convergencia dominada. Integral de Riemann.

Espacios LDefinición de espacios Lp, norma p. L¹ y L espacios de Banach. Desigualdad de Holder. Teorema de convergencia dominada versión LpLp espacio de Banach. 

Teorema de Radon-Nikodým: Noción de medida absolutamente continua con respecto a otra. Teorema de Radon-Nikodým para medidas finitas. Noción de densidad de una medida.

 Medida Producto:

 Espacios de medida producto, sigma-álgebra producto.  Medida producto.  Teorema de Fubini. Medida de Lebesgue en Rn. Teorema del cambio de variables.

Bibliografía:

 Rudin, Walter Real and complex analysis. Third edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1987.

 Doob, J.L. Measure theory. Graduate Texts in Mathematics, 143. Springer-Verlag, New York, 1994.

 Halmos, Paul R. Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950.