Magíster en Ciencia en la especialidad de Matemática

Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación

Análisis Real

NOMBRE DEL CURSO:  ANÁLISIS   REAL

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6

Resumen: 

La recta real: Conjuntos acotados en la recta real. Definición de  supremo e ínfimo. Densidad de los racionales. Sucesiones de números, criterios de convergencia. Límites superior e inferior. Series de números, criterios de convergencia y divergencia.  Definición de logaritmo y exponencial, propiedades. Sucesiones y series de funciones, criterios de convergencia.

Ejemplos de espacios métricos: Ejemplos que motiven la necesidad de introducir una métrica sobre un conjunto. Ejemplos de métricas sobre conjuntos discretos. Definición de espacio métrico y propiedades básicas. Mediante ejemplos, estudiar propiedades cualitativas sobre un conjunto según la introducción de diferentes métricas.

Topología de un espacio métrico: Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos de acumulación y puntos aislados. Conjuntos Perfectos. Sucesiones en espacios métricos. Completitud.

Continuidad: Funciones continuas, caracterizaciones y propiedades. Homeomorfismos e isometrías. Funciones uniformemente continuas. Funciones semicontinuas. Comparación de métricas. Continuidad de las operaciones algebraicas. Teorema de extensión de Tietze. Teoremas de punto fijo y aplicaciones.

Conexidad: Conjuntos conexos. Componetes conexas. Conjuntos conexos en Rn. Conexidad y continuidad.

Compacidad: Cubrimientos. Conjuntos compactos. Propiedades. Caracterización de la compacidad en espacios métricos. Conjuntos compactos en Rn. Compacidad y continuidad uniforme.

Espacio de funciones: Convergencia puntual. Límites superior e inferior. Convergencia uniforme y métrica de la convergencia uniforme. Espacio de funciones continuas. Conjuntos equicontinuos. Teorema de Arzela-Ascoli. Aplicaciones.

 Bibliografía

  Apostol, T.M. Mathematical Analysis.  Addison-Wesley Publ. Co. 1957.

 Royden, Real Análisis, Mc Millan, 1968.

Rudin, W. Principles of Mathematical Analys. Mc. Graw-Hill, Inc. 1963.

 Iribarren, Topología de Espacios métricos, Ed. Limusa-Wiley, 1973.